Variablen und Terme

Paketmasse

Beispiel

Damit ein Paket von der Schweizerischen Post noch als reguläre Sendung (Sperrgut) akzeptiert wird, muss es die folgende Bedingung erfüllen:

$2 \times Breite + 2 \times Hoehe + Laenge \le 400\;cm$

Die Post verwendet in ihrer Beschreibung für die Abmessungen des Paketes verbale Bezeichnungen wie Breite, Höhe, Länge. Sie alle stehen für Werte, die im Moment nicht bekannt sind oder nicht konkret festgelegt werden sollen.

In der Mathematik nennt man solche Ausdrücke Variablen; es ist dort auch üblich, sie mit einem einzelnen Buchstaben (statt mit ganzen Wörtern) zu bezeichnen.

Im Beispiel:

b = Breite
h = Höhe $\quad \quad \quad$ Bedingung: $ \; 2 \cdot b + 2 \cdot h + l \le 400$
$ l $ = Länge

Ausdrücke, welche sich aus Zahlen, Variablen und Operationszeichen zusammensetzen (wie oben $ \; 2 \cdot b + 2 \cdot h + l $), heissen Terme.

Natürlich muss diese Zusammensetzung auch sinnvoll sein; weitere Bemerkungen dazu finden Sie hier.

Formeln

Beispiel:

Bei einer Sportveranstaltung zahlen Erwachsene 10 Fr., Kinder 4 Fr. Eintritt. Die Kosten des Veranstalters (Hallenmiete, Schiedsrichter) betragen fix 400 Fr. Wie gross ist der Gewinn, wenn 400 Erwachsene und 150 Kinder die Veranstaltung besuchen?

Das sollte keine allzu schwierige Frage sein; der Rechnungsweg ist folgender:

$400 \cdot 10 + 150 \cdot 4 - 400 = 4'200$

Die Gesamteinnahmen erhält man, indem man die Zahl der Erwachsenen mit 10 und die der Kinder mit 4 multipliziert und die so erhaltenen Zahlen addiert. Danach müssen noch die fixen Kosten subtrahiert werden.
Beachten Sie aber, dass ohne die zusätzliche verbale Beschreibung die "Rolle" der Zahl 400 nicht eindeutig ist: wenn man die Lösungsidee nicht schon hat, kann man sie aus den Zahlen alleine nicht zweifelsfrei rekonstruieren.

Besser verständlich wird die Rechnung, wenn man Variablen einführt:

x: Anzahl Erwachsene

y: Anzahl Kinder

f: fixe Kosten der Veranstalter (in Fr.)

g: Gewinn des Veranstalters (in Fr.)

Die Berechnungsformel lautet dann:

$g = 10 \cdot x + 4 \cdot y - f$

oder kürzer geschrieben

$g = 10x + 4y - f$

Sie erlaubt die Berechnung des Gewinns g für beliebige Kombinationen der "Inputgrössen" x, y und f.

Wenn man bei einem Berechnungsproblem den "Rechengang" angeben kann, dann ist ein wesentlicher Schritt der Lösung erfolgt; es ist dann nur noch Rechenarbeit zu leisten, die auch einem Taschenrechner oder Computer übertragen werden kann. Die Beschreibung von Rechengängen mit Hilfe von Variablen ist meist einfach und übersichtlich. Man erhält dadurch Formeln, die für beliebige Zahlenangaben verwendet werden können.

Im vorher betrachteten Beispiel "Paketpost" lässt sich analog das betrachtete Totalmass t durch folgende Formel beschreiben:

$t = 2b + 2h + l$

Neben der Verständlichkeit gibt es noch viele weitere gute Gründe, Variablen zu verwenden.

Mehr dazu unter folgenden Links:

- Wozu sind Terme da? (Auszug aus Skript Ludwig)

- Link zum Gesamtdokument: Didaktik der Algebra (Prof. M. Ludwig, PH Weingarten, 2004)

Terme umformen

Terme können verändert, das heisst "umgeformt" werden. Verlangt werden muss dabei natürlich, dass der neue Term die gleichen Ergebnisse liefert wie der alte, egal welche konkreten Einsetzungen für die Variablen man vornimmt. Man spricht deshalb auch von Äquivalenzumformungen.

Im Beispiel:

$ t = 2b + 2h + l $
lässt sich umformen zu
$t = 2(b + h) + l $

In dieser Excel- Tabelle können Sie die behauptete Gleichheit für ein paar konkrete Einsetzungen selbst überprüfen.

Beachten Sie, dass die Überprüfung durch Einsetzen einzelner Zahlenwerte für einen schlüssigen Nachweis der Äquivalenz nicht ausreicht. Sie stellt aber ein gutes Mittel dar, um allfällig fehlerhafte Umformungen zu entdecken.

Beispiel:

Ist $ {(a + b)^2} = {a^2} + {b^2}$ ?
Nein, denn z.B. ${(3 + 2)^2} = {5^2} = 25$ , aber ${3^2} + {2^2} = 9 + 4 = 13$ .

Bei der obigen (falschen) Umformung handelt es sich um einen "klassischen" Umformungsfehler, der von Lernenden sehr häufig gemacht wird.

Wie macht man es richtig? Siehe dazu die Themenseite Binomische Formeln.

Um die Gültigkeit einer bestimmten Umformung schlüssig nachzuweisen, muss man auf allgemeine Regeln und Gesetze zurückgreifen. So basiert beispielsweise die oben verwendete Umformung auf dem sogenannten Distributivgesetz.

Allgemein lautet es:

$a(b + c) = ab + ac$

Eine Zusammenstellung der wichtigsten Regeln dieser Art finden Sie hier.

Ihre Anwendung wird auf den nachfolgenden Seiten des aktuellen Themenfeldes "Terme umformen" noch ausführlich besprochen werden.

Termstrukturen

Eine notwendige Voraussetzung, um Terme korrekt umformen zu können, ist neben der Kenntnis der oben genannten Grundregeln auch die Fähigkeit, die algebraische Struktur eines gegebenen Terms zu erkennen.

Im Beispiel:

	ist primär eine Summe; ihre beiden Summanden sind ihrerseits wieder Produkte.
	ist primär ein Produkt; der zweite Faktor ist seinerseits wieder eine Summe.

Die verwendete "Kästchendarstellung" ist eine gute Möglichkeit, algebraische Strukturen zu visualisieren. Alternativ kann der Sachverhalt auch sprachlich beschrieben werden durch die Formulierung "ist von der Form $A+B$ " (im ersten Fall) bzw. "ist von der Form $A \cdot B$" (im zweiten Fall).

Beispiel:

Welche der folgenden Ausdrücke sind von der Form $A \cdot B + C $ ?
a) $2x + 3y$
b) $x \cdot (y + 1)$
c) ${w^2} - v \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $ Lösung

Gleichungen

Schreibt man zwischen zwei Terme ein Gleichheitszeichen = , so entsteht eine Gleichung. Je nach Kontext ist die Bedeutung des Gleichheitszeichens allerdings etwas verschieden.

Die weiter oben betrachteten Formeln wie $2b + 2h = 2(b + h)$ sind Spezialfälle von Gleichungen: sie sind allgemeingültig, d.h. sie sollen für alle Einsetzungen der Variablen gültig sein.

In Anwendungsaufgaben wird aber meist ein anderer Fall vorliegen: wenn man eine Gleichung "lösen" will, geht es darum, jene (in der Regel einzelnen) Werte einer Variablen zu bestimmen, welche die Gleichung "erfüllen", sie also zu einer korrekten Aussage machen.

Für die Auflösung solcher Bestimmungsgleichungen gibt es unterschiedliche Methoden, die in den Themenfeldern Gleichungen - Einführung , Gleichungen - Ergänzungen und Gleichungssysteme behandelt werden.

1)

Herr Wohnlich kauft Möbel:
einen Tisch für a Fr., 4 Stühle für je b Franken und zwei Schränke für je c Franken.

a)

Geben Sie für den zu bezahlenden Gesamtpreis P eine Formel an.

b)

Herr Wohnlich leistet eine Anzahlung von z Franken und bezahlt dann den Rest in fünf gleich grossen Raten. Geben Sie die Höhe r einer Rate an (Zinsen werden nicht verrechnet).

Lösungen

2)

Wir legen Münzen in der Form eines Quadrates auf den Tisch. Jede waagrechte, jede senkrechte und jede schräge (diagonale) Reihe enthält n Münzen.

a)

Wie viele Münzen sind es im gezeichneten Fall n = 7 ?

b)

Geben Sie eine allgemeine Formel an für die Anzahl a der Münzen, wenn eine beliebige ungerade Zahl n von Münzen in jeder Reihe liegt. Wie viele Münzen wären es also bei 13 Münzen pro Reihe?

c)

Gilt Ihre Formel auch für gerade Anzahlen n ?

Lösungen

3)

Geben Sie jeweils eine Termdarstellung an:

a)

Die Zahl z wird verdoppelt.

b)

Zur Zahl x wird 1 addiert und das Ergebnis mit 5 multipliziert.

c)

2 weniger als das Dreifache der Zahl a.

d)

Von der Zahl m wird die Zahl n subtrahiert und zum Ergebnis 3 addiert.

e)

Drei Viertel von p.

Lösungen

4)

In einer Lerngruppe gibt es m männliche und w weibliche Studierende. Was bedeuten die folgenden Gleichungen?
(Geben Sie eine kurze Interpretation der Bedingung in Worten.)

a)

$ m+w=30 $

b)

$ m=2w $

c)

$ m+2=w $

d)

$ \large \frac {m}{m+w} \normalsize = 0.4 $

Lösungen

5)

Analysieren Sie die algebraische Struktur der folgenden Terme so weit wie möglich, indem Sie die "Kästchendarstellung" verwenden:

Beispiel: $ \quad 2x-3(y-1) $ darstellbar als